二分查找

第一题

题目描述

给定一个按照升序排列的长度为 n的整数数组，以及 q个查询。

对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 00 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式

第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含 n个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。

接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式

共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围

1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000

输入样例：

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例：

3 4
5 5
-1 -1

代码描述

#include <iostream>

using namespace std;
const int N=1e6+10;
int a[N];

int main()
{
    int n,q,k;
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    
    for(int i=0;i<q;i++)
    {
        scanf("%d",&k);
        int l=0,r=n-1;
        //第一个a[l]=k，查找最左边的位置
        while(l<r)
        {
            int mid=l+r>>1;
            if(a[mid]>=k) r=mid;
            else l=mid+1;
        }
        //如果该值，不是
        if(a[l]!=k) cout<<"-1 -1"<<endl;
        else //查找最后一个k（最右边的位置），
        {
            cout<<l<<" ";
            l=0,r=n-1;
            while(l<r)
            {
                int mid=1+r+1>>1;
                if(a[mid]<=k) l=mid;
                else r=mid-1;
            }
            cout<<l<<endl;
        }
        
    }
    return 0;
}

思路解析

用二分去查找元素，要求数组的有序性或者拥有类似于有序的性质。所以写之前，就要考虑好想要查找的是什么。

就本题而言，一个包含重复元素的有序序列，要求输出某元素出现的起始位置和终止位置。所以，需要写两个二分，一个需要找到 >= x 的第一个数，另一个需要找到 <= x 的最后一个数。

二分查找的两套模板（如下图所示）：

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
//找的是左边界
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质，q[mid]>=x
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
//即找的是右边界
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1; //+1是为了防止死循环，如[1,1]区间，true时
        if (check(mid)) l = mid; //q[mid]<=x
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

第一套，查找的是左边界；第二套，查找的是右边界。